Отраслевая автоматизированная система управления. Подсистема управления качеством. Методика прогнозирования показателей

ОТРАСЛЕВАЯ

АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ.

ПОДСИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ

Построение математических моделей
временных рядов показателей

срок введения установлен с 1 июля 1979 г.
Настоящий стандарт распространяется на теоретические методы моделирования временных рядов показателей, закладываемых в отраслевой автоматизированной системе управления (ОАСУ).
Стандарт устанавливает способ построения математических моделей, времен­ные ряды которых являются случайными реализациями процессов изменения показа­телей.

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1. Временные рады показателей строятся по результатам контроля изделий на этапах производства и эксплуатации. При этом вероятностные оценки значений показателей должны быть состоятельными, а временные ряды представительными.
1.2. Методы, используемые при построении математических моделей, инвариант­ны к видам показателей и этапам- •’жизненного цикла' изделий.
1.3. Стандарт позволяет осуществлять построение

1.4. Параметрические математические модели используются дл
ния будущих значений показателей, для формирования динамических моделей и иссле
дования свойств временных рядов показателей при синтезе автоматизированной сис­
темы И ТДІ.
1.5. Допускается самостоятельное использование алгоритмов и программ, со­ответствующих основным этапам построения математической модели. • Основные этапы построения математической модели: h
• проверка ряда на стационарность; ri
• идентификация пробной модели;
• оценка параметров модели;
• проверка адекватности модели.

2. МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

2.1. Общая блок-схема процесса построения математической модели временного ряда представлена на черт. 1.
2.2. Стационарность временных рядов определяется из предположения о нормаль- №
ности закона распределения значений временного ряда, когда постоянные значения первых двух моментов (математического ожидания и автокорреляционной функции, зависящей только от величины сдвига) обеспечивают строгую стационарность рас-
*
сматриваемого ряда.
Ии». № дубліката
Ина. № нодлннннка

Выбор вида
математической модели
порядка
Определение
доверительного ингер
вала оценок
параметров

Пр едваригельная оценка параметров модели 1-го или 2-го порядка
Выбор вида модели и предварительная оценка параметров модели выше 2-го порядка
Черт. 1
Гипотеза о постоянстве значений первых двух моментов подтверждается, если *
их изменение во времени не превышает стандартной ошибки 2/W (где N - длина временного ряда). Если гипотеза не подтверждается, то осуществляется взятие разностей

при t =1, 2, . . ., /V , где Р - значения показателя, представленные в виде временного ряда;
■
Р. - значения, полученные в результате взятия разностей.
F
Число процедур взятия разностей до приведения ряда к стационарному виду
определяет порядок нестационарности ряда d (d 4). При этом длина стационар-
+
ного временного ряда становится равной

В общем виде где К - число шагов сдвига ( X =Ot 1
2»4. Целью идентификации временного ряда является выбор наиболее экономной модели среди класса линейных параметрических моделей, с помощью которой может быть описан данный ряд. К этому классу относятся следующие математические модели.
2.4.1. Модель авторегрессии АР

Порядок смешанной модели определяется как сумма (
1.1. 4, Модель авторегресси и: проинтегрированного скользящего среднего АРПСС
(/> (В) pt =
где у)(в) = Ф(в)(і-аг - обобщенный оператор авторегрессии; d - порядок нестационарности процесса.
2.5. Выбор вида математической модели временного ряда осуществляется с помощью анализа спектров автокорреляционной и частной автокорреляционной функций.
Гипотеза о равенстве нулю установившихся значений частной автокорреляцион­ной функции подтверждается, если эти значения не превышают по модулю стандарт­ной ошибки выборочной частной автокорреляции.
При проверке гипотезы о равенстве нулю установившихся значений автокорре­ляционной функции используется стандартная ошибка Бартлетта.
Анализ спектров автокорреляционной и частной автокорреляционной функций состоит в отнесении их к одному из видов: * слабозатухающий спектр - спектр, имеющий на рассматриваемом интервале
К зад более половины ненулевых значений, причем первые 6 из них находятся в начале спектра;
быстрозатухающий спектр - спектр, имеющий на рассматриваемом интервале К зад менее половины ненулевых значений, причем в начале спектра это могут быть только первые три составляющие и не менее грех следующих должны быть равны нулю.
2.6. Основные результаты анализа сводятся к следующему. Если спектры обеих функций содержат только первые составляющие, а остальные равны нулю, рас­сматриваемый процесс аппроксимируется "белым шумом".
Процессу авторегрессии соответствует слабозатухающий спектр автокорреляцион-
})ункции и быстрозатухающий спектр частной автокорреляционной функции. При­чем число первых ненулевых составляющих частной автокорреляционной функции (за исключением первой, равной 1) соответствует порядку авторегрессии.

Процессу скользящего среднего соответствует слабозатухающий спектр част­ной автокорреляционной функции и быстроэатухающий спектр автокорреляционной функции» Число первых ненулевых составляющих автокорреляционной функции (за ис­ключением первой, равной 1) соответствует порядку процесса скользящего среднего.
В случае, когда спектры обеих функций слабозатухающие, подбирается смешан­ная модель. Для смешанной модели выше второго порядка выбор модели и получение предварительных оценок параметров производится в соответствии с алгоритмом I
Ньютона-Рафсона.
При выборе вида математической модели должно учитываться то, что в случае высокого порядка (2-3) моделей авторегрессии или скользящего среднего предпочти­тельнее строить смешанную модель.
Примеры выбора вида математической модели приведены в справочном приложе­нии 1.
2.7. Оценка параметров полученной модели производится в соответствии с кри
терием наименьших квадратов.
Для среднего и большого числа наблюдений временного ряда в предположении о нормальном распределении его значений изолинии безусловной суммы квадратов импульсов CL - практически совпадают с изолиниями функции правдоподобия. Поэтому точные оценки параметров определяются при минимизации суммы квадратов импуль-
в пространстве параметров (ф , & )
(9)
, Q , Р - соответственно векторы параметров авторегрессии, скользящего
среднего и значений временного ряда. t
Безусловная сумма квадратов находится суммированием квадратов всех

(10)
пульсов, имеющих нулевое среднее значение и дисперсию
приведенные значения стационарного временного ряда;
момент времени, в который оценки Р вратной моделью ф(Р)Р4,^в(Р)сХя. { F . * ■ £ £ ред) практически равны нулю;
параметры авторегрессии;
порядок процесса авторегрессии;

порядок разности стационарного временного ряда
4.2. Приведение ряда к стационарному виду осуществляется при условии с// 0.
В этом случае производится процедура взятия разностей по формуле (20).
,4.3. Вычисление статистических характеристик проводится следующим образом.
По формулам (16) - (18) осуществляется вычисление соответственно математи­ческого ожидания, дисперсии и автокорреляционной функции. Частная автокорреляцион ная функция вычисляется по формулам 4 je і
4.4. Вычисление числа с , характеризующего отклонение от нуля установивше гося значения частной автокорреляционной функции, осуществляется по формуле
4.5. Вычисление стандартной ошибки Бартлетта осуществляется по формуле . ; - 0.5
предполагаемый порядок авторегрессии.
4.6. Анализ спектров автокорреляционной и частной автокорреляционной функций
4.6.1. Спектр считается быстрозатухающим, если выполняются следующие уело
L - номера начальных ненулевых составляющих спектра;
X - число ненулевых составляющих спектра.
Спектр считается слабозатухающим, если выполняются следующие условия:
t — номера начальных нулевых составляющих спектра;
К - число нулевых составляющих спектра.
4.7. Выбор математической модели (порядок модели не более двух)
4.7.1. Если оба спектра быстрозатухающие содержат только первую составля
ющую, то процесс описывается моделью 'белого шума' с
4.7.2. Если спектр автокорреляционной функции слабозатухающий, спектр част ной автокорреляционной функции быстрозатухающий, то процесс описывается мо­делью авторегрессии. Порядок модели равен
Г = ї - 1 , (25)
где L - число первых ненулевых составляющих частной автокорреляционной функции.
4.7.3. Если спектр частной автокорреляционной функции слабозатухающий, спектр автокорреляционной функции быстрозатухающий, то процесс описывается моделью скользящего среднего» Порядок модели равен
О = L - 1 , (26)
X где I - число первых ненулевых составляющих автокорреляционной функции.
4.7.4. Если спектры обеих функций слабозатухающие, то процесс описывается смешанной моделью.
4.8. Оценка параметров модели авторегрессии
4.8.1. Для модели авторегрессии 1-го порядка при выполнении условия
параметр авторегрессии равен ф с . В противном случае рассматривается сме­шанная модель 2-го порядка.
4.8.2. Для модели авторегрессии 2-го порядка при выполнении условия
l^l^i
I Rzl І (28)

параметры авторегрессии находятся из уравнений

В противном случае рассматривается смешанная модель 2-го порядка
4.9. Оценка параметров модели скользящего среднего
4.9.1. Для модели скользящ его среднего 1-го порядка параметр скользящего
среднего определяется по формуле

Из двух значений Q выбирается то, которое удовлетворяет условиям

Если ни один из корней не удовлетворяет первому условию, рассматривается смешанная модель 2-го порядка.

заданном, вычисляются оценки параметров скользящего среднего

противном случае вычисляются новые значения ; , j z 1 < % ft
-гГ d 7 7 7 '
A - A " H,
) +(Т)л]н^ , а матрицы T составляются следующим образом

Производится переход к началу
Максимальное число раз прохождения итеративного цикла принято равным 10.
Если при этом условие (39) ни разу не выполнится, ряд считается неидентифициру
емым.
Максимальный порядок смешанной модели равен 4.
1.12. Выходные данные: - вид и порядок модели временного ряда - значения предварительных оценок параметров модели

5. АЛГОРИТМ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ